Universidad Nacional Autónoma de México.
Escuela Nacional Preparatoria.
Plantel 9 “Pedro de Alba”.
Profesor: Luis Guillermo de la Rosa Jiménez.
Grupo: 403.
Materia: Matemáticas IV.
Tema: “Teorema de Pitágoras”.
Ciclo escolar: 2010-2011
Integrantes:
Carrasco Arteaga Dania Alejandra.
Malagón Montiel Gabriela Itzel.
Legaspe Montaño Leslie Mariana.
Quintero Arias Lourdes Alejandra.
Introducción.
Con este tema aprenderemos la definición del Teorema de Pitágoras, así como su aplicación, obtendremos su valor, también veremos las ecuaciones que se utilizan para el mismo, utilizando sus despejes, conoceremos los catetos (opuesto y adyacente) y la hipotenusa, así como las demostraciones más importantes del mismo.
Y para saber un poco más, veremos la resolución de las demostraciones más importantes para el equipo, ya que son las mejor explicadas.
No olviden que una forma de enriquecernos, es mediante el conocimiento... Hay que estudiar.
Teorema de Pitágoras.
Historia.
El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento se le agradece a la escuela pitagórica. Antes de que esto ocurriera, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, las cuales eran utilizadas para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
Definición del Teorema de Pitágoras.
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto).
Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):a2 + b2 = c2
Un triángulo de lados con valores de: "3, 4, 5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.
Veamos si las áreas son la misma:
32 + 42 = 52
Calculando obtenemos:
9 + 16 = 25
Si tenemos un triángulo rectángulo (el del dibujo del enunciado del teorema) podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha.
El área de este cuadrado será (b+c)2.
Por tal motivo, ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2):
El área de este cuadrado será (b+c)2.
Por tal motivo, ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2):
Hemos descubierto que si funciona.
más el área del cuadrado amarillo
. Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:
. Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:
- Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:
- si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:
- que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:
¿Para qué nos sirve?
Si conocemos los valores de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar el valor del tercer lado. No hay que olvidar que el teorema, sólo funciona en triángulos rectángulos.
Más demostraciones importantes en la historia.
El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con gran número de demostraciones utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos. El matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition, en el cual, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
Demostración del teorema de Pitágoras usando álgebra.
Podemos ver que la fórmula a2 + b2 = c2 usando el Álgebra.
Este diagrama, tiene dentro un triángulo "abc" (en realidad tiene cuatro):
Es un gran cuadrado, cada lado mide a+b, así que el área es:
A = (a+b)(a+b)
Ahora sumamos las áreas de los trozos más pequeños:
Primero, el cuadrado pequeño (inclinado) tiene área
| ||||
Y hay cuatro triángulos, cada uno con área | ||||
Así que los cuatro juntos son A = 4(½ab) = 2ab | ||||
Si sumamos el cuadrado inclinado y los 4 triángulos da: A = c²+2ab |
Por tal motivo, sabremos que el área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado inclinado y los 4 triángulos. Esto lo escribimos así:
(a+b)(a+b) = c²+2ab
Ahora, vamos a operar a ver si nos sale el teorema de Pitágoras:
Empezamos con: | (a+b)(a+b) = c²+2ab | |
Desarrollamos (a+b)(a+b): | a²+2ab+b² = c²+2ab | |
Restamos "2ab" de los dos lados: | a²+b² = c² | |
Demostración de Garfield. |
El polígono construido por Garfield es un trapecio de bases a y b, compuesto por tres triángulos rectángulos.
James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos , desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.
Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c.
Como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:
Igualando:
lo que finalmente nos da c2 = a2 + b2, y el teorema está demostrado.
Fuentes:
Las demostraciones y comprobación del Teorema de Pitágoras en geogebra, fueron creadas por el equipo con ayuda de la página de Internet:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm
